Relations binaires

Supposons $x\mathcal{R}y$. Montrons $\bar{x}\subset \bar{y}$ : soit $z\in \bar{x}$, c’est-à-dire $x\mathcal{R}z$. Par symétrie, $y\mathcal{R}x$ (à partir de $x\mathcal{R}y$) ; par transitivité appliquée à $y\mathcal{R}x$ et $x\mathcal{R}z$, on obtient $y\mathcal{R}z$, donc $z\in \bar{y}$.

L’inclusion réciproque $\bar{y}\subset \bar{x}$ s’obtient de la même façon, en partant de $y\mathcal{R}x$ (symétrique de $x\mathcal{R}y$) : soit $z\in \bar{y}$, c’est-à-dire $y\mathcal{R}z$ ; par transitivité appliquée à $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$, on obtient $x\mathcal{R}z$, donc $z\in \bar{x}$.

Donc $\bar{x}=\bar{y}$.

Par réflexivité, $x\mathcal{R}x$, donc $x\in \bar{x}$. Comme $\bar{x}=\bar{y}$ par hypothèse, $x\in \bar{y}$, c’est-à-dire $y\mathcal{R}x$. Par symétrie, $x\mathcal{R}y$.

On a donc bien l’équivalence $\bar{x}=\bar{y}⟺x\mathcal{R}y$.

Par réflexivité, $x$ appartient toujours à sa propre classe $\bar{x}$.

Réflexivité. Pour tout $x\in \mathbb{Z}$, $x-x=0$ est pair, donc $x\mathcal{R}x$.

Symétrie. Si $x-y$ est pair, alors $y-x=-(x-y)$ est également pair (l’opposé d’un nombre pair est pair). Donc $x\mathcal{R}y⟹y\mathcal{R}x$.

Transitivité. Si $x-y$ et $y-z$ sont pairs, alors $x-z=(x-y)+(y-z)$ est une somme de deux nombres pairs, donc pair. Donc $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$ impliquent $x\mathcal{R}z$.

$\mathcal{R}$ est donc réflexive, symétrique et transitive : c’est une relation d’équivalence.

$\bar{0}=\{y\in \mathbb{Z}|0-y\text{ pair}\}=\{y\in \mathbb{Z}|y\text{ pair}\}$ : c’est l’ensemble des entiers pairs.

$\bar{1}=\{y\in \mathbb{Z}|1-y\text{ pair}\}=\{y\in \mathbb{Z}|y\text{ impair}\}$ : c’est l’ensemble des entiers impairs.

Tout entier est soit pair, soit impair, donc tout entier appartient à $\bar{0}$ ou $\bar{1}$, et ces deux classes sont distinctes. Ainsi $\mathbb{Z}/\mathcal{R}=\{\bar{0},\bar{1}\}$ : l’ensemble quotient a exactement deux éléments.