Espaces vectoriels

$F$ est non vide : $(0,0,0)\in F$ car $0+2\times 0-0=0$. Soient $u=(x_1,y_1,z_1)\in F$ et $v=(x_2,y_2,z_2)\in F$ (donc $x_1+2y_1-z_1=0$ et $x_2+2y_2-z_2=0$), et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors : $$u+\lambda v=(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2,z_1+\lambda z_2)$$ et : $$(x_1+\lambda x_2)+2(y_1+\lambda y_2)-(z_1+\lambda z_2)=\underset{=0}{\underbrace{(x_1+2y_1-z_1)}}+\lambda \underset{=0}{\underbrace{(x_2+2y_2-z_2)}}=0$$ Donc $u+\lambda v\in F$. D’après la caractérisation du cours (condition 2), $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ (c’est le plan passant par l’origine et normal au vecteur $(1,2,-1)$).

On a $(0,0)\in A$ (car $0=0^2$), et $(1,1)\in A$ (car $1=1^2$) : $A$ n’est donc pas vide et contient bien le vecteur nul, mais cela ne suffit pas. Testons la stabilité par multiplication scalaire avec $u=(1,1)\in A$ et $\lambda =2$ : $$2u=(2,2)$$ Or $2\ne 2^2=4$, donc $2u\notin A$ : $A$ n’est pas stable par multiplication scalaire, ce n’est donc pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$ (géométriquement, $A$ est une parabole, une courbe qui n’est pas une droite passant par l’origine).