L’algèbre linéaire est l’étude des espaces vectoriels et des applications linéaires entre eux. C’est l’un des domaines les plus fondamentaux des mathématiques modernes, avec des applications dans pratiquement toutes les branches des sciences.
Historiquement, la notion d’espace vectoriel a émergé progressivement au XIXe siècle, notamment à travers les travaux de Grassmann, Peano et plus tard de Banach. L’idée centrale est de généraliser les propriétés des vecteurs géométriques du plan et de l’espace à des structures plus abstraites.
Dans ce chapitre, on définit les espaces vectoriels et leurs propriétés fondamentales. On étudie ensuite les sous-espaces vectoriels et les opérations que l’on peut effectuer sur eux. Enfin, on introduit les applications linéaires, qui sont les « bonnes » applications entre espaces vectoriels.
Un espace vectoriel est une structure algébrique qui généralise la notion intuitive de vecteurs. On peut y additionner des éléments entre eux et les multiplier par des scalaires, avec des règles de calcul naturelles.
Dans toute la suite, K désigne un corps, le plus souvent R ou C. Les éléments de K sont appelés scalaires.
Un K-espace vectoriel est un ensemble E muni d’une addition +:E×E→E et d’une multiplication par un scalaire ⋅:K×E→E vérifiant :
Les éléments de E sont appelés vecteurs. L’élément 0E est le vecteur nul.
Un groupe abélien (G,+) est un ensemble G muni d’une loi + vérifiant :
On omet souvent le symbole ⋅ et on écrit simplement λu au lieu de λ⋅u. De même, on note souvent 0 au lieu de 0E quand le contexte est clair.
Les espaces vectoriels apparaissent naturellement dans de nombreux contextes. Voici les exemples les plus importants, qui serviront de modèles tout au long du cours.
L’ensemble Kn={(x1,…,xn)∣xi∈K} des n-uplets de scalaires est un K-espace vectoriel pour les opérations : (x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn) λ⋅(x1,…,xn)=(λx1,…,λxn)
Le vecteur nul est (0,…,0) et l’opposé de (x1,…,xn) est (−x1,…,−xn).
Cas particuliers importants :
Soit X un ensemble non vide. L’ensemble F(X,K) des fonctions de X dans K est un K-espace vectoriel pour les opérations : (f+g)(x)=f(x)+g(x) (λ⋅f)(x)=λ⋅f(x)
Le vecteur nul est la fonction nulle x↦0.
Cet exemple est très général. En prenant X={1,…,n}, on retrouve Kn (une fonction f:{1,…,n}→K est déterminée par les valeurs f(1),…,f(n)).
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