Oscillateurs libres et forcés

D’après la proposition du cours : $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0,1\times 10\times 10^{-6}}}=1000\text{rad/s}$$

$$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\approx 6,28\times 10^{-3}\text{s}$$

$i(0)=-Q_m{\omega }_0\sin \phi =0$ impose $\sin \phi =0$ (car $Q_m\ne 0$), donc $\phi =0$ ou $\phi =\pi$. Comme $q(0)=Q_m\cos \phi =5\mu \text{C}>0$, il faut $\cos \phi >0$, donc $\phi =0$.

Avec $\phi =0$, $q(0)=Q_m\cos (0)=Q_m$, donc $Q_m=q(0)=5\mu \text{C}=5\times 10^{-6}\text{C}$. La charge oscille donc simplement selon $q(t)=5\mu \text{C}\times \cos (1000t)$.

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{200}{0,5}}=20\text{rad/s}$$

D’après la remarque du cours, $X_m=\sqrt{x(0{)}^2+\dot{x}(0{)}^2/{\omega }_0^2}$ : $$X_m=\sqrt{0^2+{\left(\frac{-2}{20}\right)}^2}=\sqrt{0,01}=0,1\text{m}$$

Le point matériel part de la position d’équilibre ($x(0)=0$) avec une vitesse non nulle : c’est exactement la situation où $\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$ doit s’annuler à $t=0$ avec une pente non nulle, ce qui correspond à une fonction sinus pure. Comme $v(0)<0$, le mouvement démarre vers les $x$ négatifs : $$x(t)=-X_m\sin ({\omega }_{0}t)=-0,1\sin (20t)$$ On vérifie que cette expression redonne bien $x(0)=0$ et $\dot{x}(0)=-0,1\times 20=-2\text{m/s}$, conforme à l’énoncé.