Approche énergétique

À $t=0$, l’objet est au sol ($z=0$, donc $E_{p,\text{pes}}=mgz=0$) avec la vitesse $v_0$ : $$E_m=E_c(0)+E_{p,\text{pes}}(0)=\frac{1}{2}m{v}_0^2$$ Le poids étant la seule force (les frottements sont négligés), $E_m$ se conserve ensuite tout au long du mouvement (corollaire du cours).

Au sommet de la trajectoire, la vitesse s’annule : $E_m=E_{p,\text{pes}}(z_{\max })=mg{z}_{\max }$. En égalant à l’expression de la question précédente : $$mg{z}_{\max }=\frac{1}{2}m{v}_0^2⟹z_{\max }=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{14^2}{2\times 9,8}=10\text{m}$$

La conservation de $E_m$ donne, à l’altitude $z_1$ : $$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2+mg{z}_1⟹z_1=\frac{v_0^2-v_0^2/4}{2g}=\frac{3v_0^2}{8g}$$ Numériquement : $$z_1=\frac{3\times 196}{8\times 9,8}=7,5\text{m}$$

À l’instant du lâcher, $v=0$ et l’allongement vaut $x_0$ : $$E_m=E_{p,\text{eˊl}}(x_0)=\frac{1}{2}k{x}_0^2=\frac{1}{2}\times 200\times 0,5^2=25\text{J}$$

La vitesse est maximale là où $E_{p,\text{eˊl}}$ est minimale, c’est-à-dire à la longueur naturelle du ressort ($x=0$), où toute l’énergie mécanique est cinétique : $$\frac{1}{2}m{v}_{\max }^2=E_m⟹v_{\max }=\sqrt{\frac{2E_m}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 25}{2}}=5\text{m/s}$$

La force de rappel élastique dérive de $E_{p,\text{eˊl}}(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$, dont la dérivée seconde vaut $k$ en tout point : le puits est exactement harmonique (pas seulement au voisinage de l’équilibre), avec ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ d’après la proposition du cours. La période vaut donc : $$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{2}{200}}\approx 0,628\text{s}$$