Variables aléatoires

$S(\Omega )=\{2,3,\dots ,12\}$. Il y a $36$ issues équiprobables $(i,j)\in \{1,\dots ,6{\}}^2$. La somme vaut $7$ pour les $6$ couples $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, donc $$P(S=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0,16667$$

$S=2$ correspond au seul couple $(1,1)$, et $S=12$ au seul couple $(6,6)$ : $$P(S=2)=P(S=12)=\frac{1}{36}\approx 0,02778$$

L’application $(i,j)\mapsto (7-i,7-j)$ est une bijection de $\{1,\dots ,6{\}}^2$ dans lui-même (car $i\mapsto 7-i$ est une bijection de $\{1,\dots ,6\}$), et elle envoie tout couple de somme $k$ sur un couple de somme $(7-i)+(7-j)=14-(i+j)=14-k$. Cette bijection préserve l’équiprobabilité (chaque couple a la même probabilité $1/36$), donc le nombre de couples de somme $k$ égale celui de somme $14-k$, d’où $P(S=k)=P(S=14-k)$.

Chaque tirage, avec remise, est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0,4$ (succès = boule rouge), et les $6$ tirages sont mutuellement indépendants : $X$ compte le nombre de succès parmi $6$ épreuves indépendantes de même paramètre, donc $X\hookrightarrow \mathcal{B}(6;0,4)$. D’après le théorème de la loi binomiale : $$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)(0,4{)}^3(0,6{)}^3=20\times 0,064\times 0,216\approx 0,27648$$

$$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)(0,4{)}^5(0,6{)}^1=6\times 0,01024\times 0,6\approx 0,03686$$ $$P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6}\right)(0,4{)}^6(0,6{)}^0=0,4^6\approx 0,00410$$

$$P(X⩾5)=P(X=5)+P(X=6)\approx 0,03686+0,00410=0,04096$$