1.La composée de deux similitudes directes est encore une similitude directe.
2.Si f(z)=az+b et g(z)=a′z+b′, le rapport de g∘f vaut ∣a∣+∣a′∣.
3.Le groupe des similitudes directes, muni de la composition, est commutatif.
4.Une similitude directe est entièrement déterminée par la donnée de l’image de deux points distincts.
5.Trois points A,B,C d’affixes deux à deux distinctes sont alignés si et seulement si zB−zAzC−zA∈R.
On considère f(z)=2iz+1 et g(z)=(1+i)z−2.
Calculer les paramètres (a′a, a′b+b′) de g∘f.
Ici a=2i, b=1, a′=1+i, b′=−2. D’après la proposition de composition : a′a=(1+i)(2i)=2i+2i2=−2+2ia′b+b′=(1+i)×1−2=−1+i Donc (g∘f)(z)=(−2+2i)z+(−1+i).
Calculer le rapport de g∘f.
Le rapport vaut ∣a′a∣=∣−2+2i∣=4+4=8=22≈2,82843.
Calculer l’angle de g∘f.
D’après la proposition de composition, l’angle vaut arg(a′)+arg(a) [2π]. Ici arg(a)=arg(2i)=2π et arg(a′)=arg(1+i)=4π, donc l’angle de g∘f est 2π+4π=43π≈2,35619.
On considère f(z)=3z+2i.
Déterminer f−1.
D’après la démonstration du théorème du groupe des similitudes directes, avec a=3, b=2i : f−1(z)=31z−32i
Vérifier directement que f∘f−1=id.
(f∘f−1)(z)=3(31z−32i)+2i=z−2i+2i=z donc f∘f−1=id.
Le rapport de f vaut 3. Quel est le rapport de f−1 ? Justifier à l’aide de la structure de groupe.
Le rapport de f−1 est 31=31. Ceci est cohérent avec la structure de groupe : si f∘f−1=id (rapport 1), et que les rapports se multiplient par composition (proposition de composition), le rapport de f−1 doit être l’inverse de celui de f, soit 31.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.