1.Dans une intégration par parties, on choisit v comme le facteur qui se simplifie par dérivation.
2.La formule du changement de variable n’exige que la continuité de φ.
3.Pour ∫sinpxcosqxdx avec q impair, on pose t=sinx.
4.La méthode t=tanx s’applique à n’importe quelle intégrale trigonométrique, quelle que soit sa symétrie.
5.Une intégration par parties itérée peut faire réapparaître l’intégrale de départ, permettant de la déterminer par une équation.
On veut calculer I=∫01x2exdx.
Effectuer une première intégration par parties, avec v(x)=x2 et u′(x)=ex.
v′(x)=2x, u(x)=ex. Par parties : I=[x2ex]01−∫012xexdx=e−2∫01xexdx
Calculer ∫01xexdx par une seconde intégration par parties (ou en réutilisant le résultat déjà établi dans le cours).
D’après l’exemple du cours (avec v(x)=x, u′(x)=ex) : ∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−(e−1)=1.
Conclure la valeur de I.
I=e−2×1=e−2
On veut calculer J=∫0πe2xsinxdx, sur le modèle de l’exemple du cours pour ∫0πexcosxdx.
Effectuer une première intégration par parties (avec u′=e2x, v=sinx), et en déduire J=−21K où K=∫0πe2xcosxdx.
u=21e2x, v′=cosx. Par parties : J=[21e2xsinx]0π−∫0π21e2xcosxdx=0−21K=−21K puisque sin0=sinπ=0.
Effectuer une seconde intégration par parties sur K (avec u′=e2x, v=cosx), pour obtenir une relation entre K et J.
u=21e2x, v′=−sinx. Par parties : K=[21e2xcosx]0π+∫0π21e2xsinxdx=(−2e2π−21)+21J
En reportant dans la relation de la question a., résoudre l’équation en J et conclure.
En substituant K=−2e2π+1+2J dans J=−21K : J=−21(−2e2π+1+2J)=4e2π+1−4J D’où 45J=4e2π+1, soit J=5e2π+1.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.