Systèmes linéaires

En calculant $3\times (\text{ligne 1})-1\times (\text{ligne 2})$ : $3(x+y+z)-(2x-y+z)=x+4y+2z$, et pour les seconds membres $3\times 6-3=15$. On retrouve exactement la troisième équation : $L_3=3L_1-L_2$.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $(2x-y+z)-2(x+y+z)=3-2\times 6$, soit $-3y-z=-9$, c’est-à-dire $3y+z=9$. $L_3\leftarrow L_3-L_1$ : $(x+4y+2z)-(x+y+z)=15-6$, soit $3y+z=9$ — identique à la ligne précédente, confirmant la question a. Le système échelonné est donc $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 3y+z=9\\ 0=0\end{array}$, de rang $r=2$.

De $3y+z=9$ avec $z=3t$ : $y=3-t$. De $x+y+z=6$ : $x=6-y-z=6-(3-t)-3t=3-2t$. La solution générale est donc : $$\mathcal{S}=\{(3-2t,3-t,3t)\mid t\in \mathbb{R}\}$$ une droite affine de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, de dimension $n-r=3-2=1$, conformément au corollaire du cours.

$5+2\times (-2)-0=5-4=1$ ✓, et $2\times 5+3\times (-2)+0=10-6=4$ ✓ : $X_0=(5,-2,0)$ est bien solution.

$\mathrm{Ker}(A)$ est l’ensemble des $(x,y,z)$ tels que $x+2y-z=0$ et $2x+3y+z=0$. En éliminant $x$ par $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $(2x+3y+z)-2(x+2y-z)=-y+3z=0$, soit $y=3z$. Puis $x=z-2y=z-6z=-5z$. En posant $z=1$ : le vecteur $(-5,3,1)$ engendre $\mathrm{Ker}(A)$, de dimension $1$ (rang de $A$ égal à $2$, donc $\dim \mathrm{Ker}(A)=3-2=1$).

D’après le théorème de structure affine, $\mathcal{S}=X_0+{\mathcal{S}}_0=\{(5,-2,0)+t(-5,3,1)\mid t\in \mathbb{R}\}=\{(5-5t,-2+3t,t)\mid t\in \mathbb{R}\}$. Pour $t=1$ : $(5-5,-2+3,1)=(0,1,1)$. Vérification directe dans le système d’origine : $0+2\times 1-1=1$ ✓, et $2\times 0+3\times 1+1=4$ ✓ : $(0,1,1)$ est bien solution, et correspond au paramètre $t=1$.