Sept questions courtes sur les suites réelles.
1.La réciproque de « toute suite convergente est bornée » est-elle vraie ?
2.Que vaut n→+∞limn1 ?
3.Si un⩽vn pour tout n et que (un), (vn) convergent, a-t-on nécessairement limun<limvn (inégalité stricte) ?
4.Toute suite bornée admet-elle une sous-suite convergente ?
5.Quelle est la limite de la suite géométrique un=2n ?
6.Deux suites adjacentes convergent-elles nécessairement vers la même limite ?
7.Parmi les affirmations suivantes sur les suites réelles, lesquelles sont vraies ?
Le cours affirme, sans le démontrer formellement, que pour 0<q<1, la suite (qn) converge vers 0. Démontrons-le à l’aide du théorème de la limite monotone.
Montrer que (qn)n∈N est décroissante et minorée, et en déduire qu’elle converge vers une limite l⩾0.
Pour tout n∈N, qn>0 (produit de termes strictement positifs), et qnqn+1=q<1, donc qn+1<qn : la suite (qn) est décroissante.
Elle est de plus minorée par 0 (tous ses termes sont strictement positifs).
D’après le corollaire du théorème de la limite monotone (suite décroissante minorée), (qn) converge vers une limite l=inf{qn ∣ n∈N}⩾0.
En utilisant la relation qn+1=q×qn et les opérations sur les limites, montrer que l=0.
La suite (qn+1)n∈N est la même suite que (qn) décalée d’un rang, donc elle converge également vers l.
Par les opérations sur les limites (multiplication par la constante q), q×qn→q×l. Or q×qn=qn+1→l. Par unicité de la limite, q×l=l, soit l(q−1)=0.
Comme 0<q<1, on a q=1, donc l=0.
Le cours affirme cette implication en une phrase, sans la rédiger formellement. Faisons-le, directement à partir des définitions.
Soit (un) une suite croissante et non majorée. Montrer que unn→+∞+∞.
Soit A∈R. Comme (un) n’est pas majorée, A n’est pas un majorant de l’ensemble {un ∣ n∈N} : il existe N∈N tel que uN>A.
Comme (un) est croissante, pour tout n⩾N, un⩾uN>A.
Ceci étant vrai pour tout A∈R, on a montré exactement la définition de unn→+∞+∞.
Revenir à la définition de un→+∞ : il faut montrer que pour tout A∈R, un finit par dépasser A à partir d’un certain rang. Utiliser le fait que A n’est pas un majorant de la suite.
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