1.Une suite (un) vérifiant un+1=un+b (c’est-à-dire avec a=1) est une suite arithmético-géométrique au sens du cours.
2.Si le discriminant Δ=a2+4b de l’équation caractéristique d’une récurrence linéaire d’ordre deux est strictement négatif, il n’existe aucune suite réelle non identiquement nulle vérifiant cette récurrence.
3.Si (un) vérifie un+1=f(un), converge, et f est continue en sa limite ℓ, alors f(ℓ)=ℓ.
4.Le théorème du point fixe de la limite garantit que la suite (un) converge.
5.Si f est décroissante sur un intervalle stable I, la suite (un) définie par un+1=f(un) est nécessairement monotone.
Soit (un) définie par u0=−1 et un+1=41un+3 pour n∈N.
Déterminer le point fixe ℓ de x↦41x+3.
ℓ=41ℓ+3⟺43ℓ=3⟺ℓ=4.
En déduire l’expression de un en fonction de n.
D’après la proposition du cours (avec a=41, ℓ=4) : un=(u0−ℓ)an+ℓ=(−1−4)(41)n+4=4−5(41)n
La suite (un) converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
Comme 41<1, (41)n→0, donc un→4 : (un) converge vers 4, le point fixe.
Soit (un) définie par u0=2, u1=1 et un+2=5un+1−6un pour n∈N.
Écrire l’équation caractéristique associée, et vérifier que son discriminant est strictement positif. Calculer ses deux racines.
L’équation caractéristique est r2=5r−6, soit r2−5r+6=0, de discriminant Δ=a2+4b=25+4×(−6)=1>0. Ses racines sont r1=2 et r2=3 (on vérifie (r−2)(r−3)=r2−5r+6).
En déduire l’expression de un en fonction de n.
D’après le théorème du cours, un=λ2n+μ3n pour un couple (λ,μ) déterminé par u0,u1 : {λ+μ=u0=22λ+3μ=u1=1 De la première équation, λ=2−μ ; en substituant dans la seconde : 2(2−μ)+3μ=1, soit 4+μ=1, d’où μ=−3 et λ=5. Ainsi un=5×2n−3×3n (Vérification : u0=5−3=2, u1=10−9=1, conformes.)
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.