1.Toute loi de composition interne associative admet un élément neutre.
2.(N,+) est un groupe.
3.Pour un corps K (au sens de ce cours), K est nécessairement commutatif.
4.Le groupe symétrique SX est commutatif dès que X possède au moins trois éléments.
5.Une partie H d’un groupe (G,∗) est un sous-groupe si et seulement si H=∅ et ∀(x,y)∈H2, x∗y−1∈H.
On munit R de la loi ∗ définie par x∗y=x+y+1.
Montrer que ∗ est associative et commutative.
Commutativité : x∗y=x+y+1=y+x+1=y∗x (commutativité de + sur R). Associativité : (x∗y)∗z=(x+y+1)∗z=x+y+1+z+1=x+y+z+2, et x∗(y∗z)=x∗(y+z+1)=x+y+z+1+1=x+y+z+2 : les deux membres coïncident.
Déterminer l’élément neutre e de (R,∗).
On cherche e tel que x∗e=x pour tout x, soit x+e+1=x, donc e=−1. On vérifie e∗x=−1+x+1=x également (la commutativité rend la vérification symétrique inutile, mais elle est immédiate).
Montrer que tout x∈R est symétrisable pour ∗, et donner le symétrique de x=5.
On cherche x′ tel que x∗x′=e=−1, soit x+x′+1=−1, donc x′=−2−x. Pour tout x∈R, ce x′∈R existe : tout élément est donc symétrisable, et (R,∗) est un groupe (abélien, d’après la question a.). Pour x=5 : x′=−2−5=−7. On vérifie : 5∗(−7)=5−7+1=−1=e, conforme.
Montrer, à l’aide de la caractérisation du cours, que 2Z={2k∣k∈Z} (l’ensemble des entiers pairs) est un sous-groupe de (Z,+).
2Z=∅ : par exemple 0=2×0∈2Z. Soient x,y∈2Z, donc x=2k et y=2l pour certains k,l∈Z. Le symétrique de y pour + est −y=−2l=2(−l) (en notation additive, y−1 se note −y). Alors : x+(−y)=2k+2(−l)=2(k−l)∈2Z puisque k−l∈Z. D’après la caractérisation du cours (avec ∗=+), 2Z est bien un sous-groupe de (Z,+).
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.