Séries numériques

Les deux séries $\sum (2/5{)}^n$ et $\sum (3/5{)}^n$ sont géométriques de raisons $2/5$ et $3/5$, toutes deux de valeur absolue $<1$ : elles convergent, de sommes respectives $\frac{1}{1-2/5}=\frac{5}{3}$ et $\frac{1}{1-3/5}=\frac{5}{2}$. Par linéarité de la somme, la série proposée converge, de somme $\frac{5}{3}+\frac{5}{2}=\frac{25}{6}$.

${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e^{n\ln (1+1/n)}$. Comme $n\ln (1+1/n)\to 1$ (équivalent usuel $\ln (1+1/n)\sim 1/n$), on obtient ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$. Le terme général ne tend donc pas vers $0$ : par le critère de divergence grossière, la série diverge.

Décomposition en éléments simples : $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. La série est donc, au signe près, la série télescopique du lien suite-série appliqué à $a_n=1/n$, qui converge vers $0$ : ${\sum }_{n⩾1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ converge, de somme $\frac{1}{1}-{\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n+1}=1-0=1$.

$\frac{n^2+1}{n^4+n}\underset{n\to +\infty }{\sim }\frac{n^2}{n^4}=\frac{1}{n^2}$, terme général d’une série à termes positifs. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ($\alpha =2>1$), donc par comparaison par équivalents, la série proposée converge.

Pour $n⩾1$, $\sin (1/n)⩾0$, et $\sin (1/n)\underset{n\to +\infty }{\sim }\frac{1}{n}$ (équivalent usuel en $0$). La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge ($\alpha =1$), donc par comparaison par équivalents, la série proposée diverge.

Pour $n⩾1$, $1-\cos (1/n)⩾0$, et $1-\cos (1/n)\underset{n\to +\infty }{\sim }\frac{1}{2n^2}$ (équivalent usuel en $0$). La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc par comparaison par équivalents et linéarité, la série proposée converge.