Primitives

D’après le catalogue des primitives usuelles, une primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$, donc une primitive de $3x^2$ est $x^3$ ; une primitive de $\frac{1}{x}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ est $\ln x$ (ici $\ln |x|=\ln x$ car $x>0$), donc une primitive de $\frac{4}{x}$ est $4\ln x$. Par linéarité : $$F(x)=x^3+4\ln x$$

$F^{\prime }(x)=3x^2+\frac{4}{x}=f(x)$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

$F(1)=1^3+4\ln 1=1+0=1$. La primitive cherchée est $G=F-1$, c’est-à-dire $G(x)=x^3+4\ln x-1$, qui vérifie bien $G(1)=1-1=0$.

Ici $a=2$, $b=3$, donc $a^2+b^2=4+9=13$. D’après la proposition du cours : $$\int e^{2x}\sin (3x)dx=\frac{e^{2x}}{13}(2\sin (3x)-3\cos (3x))$$

En posant $F(x)=\frac{e^{2x}}{13}(2\sin (3x)-3\cos (3x))$, la dérivée d’un produit donne : $$F^{\prime }(x)=\frac{2e^{2x}}{13}(2\sin (3x)-3\cos (3x))+\frac{e^{2x}}{13}(6\cos (3x)+9\sin (3x))=\frac{e^{2x}}{13}(4\sin (3x)-6\cos (3x)+6\cos (3x)+9\sin (3x))$$ $$=\frac{e^{2x}}{13}\times 13\sin (3x)=e^{2x}\sin (3x)$$ ce qui confirme le résultat de la question a.

$e^{2x}\sin (3x)=\mathrm{Im}(e^{\lambda x})$ avec $\lambda =2+3i$. Une primitive de $e^{\lambda x}$ est $\frac{1}{\lambda }{e}^{\lambda x}$, et $\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{13}$. La partie imaginaire de $\frac{2-3i}{13}{e}^{2x}(\cos (3x)+i\sin (3x))$ est $\frac{e^{2x}}{13}(2\sin (3x)-3\cos (3x))$, ce qui redonne exactement le résultat trouvé directement.