1.Le polynôme nul a pour degré 0.
2.K[X] est intègre : un produit de deux polynômes non nuls est non nul.
3.Le PGCD de deux polynômes non nuls est unique (pas seulement à une constante multiplicative près).
4.Tout polynôme irréductible de R[X] est de degré 1.
5.Le polynôme P∈Kn[X] vérifiant P(xi)=yi en n+1 points distincts donnés est unique.
Effectuer la division euclidienne de A=X4−3X3+2X−5 par B=X2−2X+1, c’est-à-dire déterminer Q,R∈R[X] tels que A=BQ+R et deg(R)<deg(B).
On pose la division, comme dans l’exemple du cours.
X4−3X3+0X2+2X−5 divisé par X2−2X+1 :
Étape 1. X4/X2=X2. On calcule X2⋅B=X4−2X3+X2, puis A−X2B=(X4−3X3+2X−5)−(X4−2X3+X2)=−X3−X2+2X−5.
Étape 2. −X3/X2=−X. On calcule −X⋅B=−X3+2X2−X, puis (−X3−X2+2X−5)−(−X3+2X2−X)=−3X2+3X−5.
Étape 3. −3X2/X2=−3. On calcule −3⋅B=−3X2+6X−3, puis (−3X2+3X−5)−(−3X2+6X−3)=−3X−2.
Le reste −3X−2 est de degré 1<deg(B)=2 : on s’arrête. En cumulant les quotients partiels X2,−X,−3 : A=(X2−2X+1)(X2−X−3)+(−3X−2) Quotient Q=X2−X−3, reste R=−3X−2.
(Vérification par développement : (X2−2X+1)(X2−X−3)=X4−3X3+5X−3, et en ajoutant −3X−2 on retrouve bien X4−3X3+2X−5=A.)
On considère un polynôme P=X3+pX2+qX+r∈R[X], scindé sur R, dont les trois racines α,β,γ (avec multiplicité) vérifient α+β+γ=6,αβ+αγ+βγ=11,αβγ=6. Déterminer p,q,r.
D’après les formules de Viète (avec n=3, coefficient dominant a3=1) : α+β+γ=−a3a2=−p,αβ+αγ+βγ=a3a1=q,αβγ=−a3a0=−r (la deuxième relation vient de la formule générale avec k=2 : ∑i1<i2αi1αi2=(−1)2a3−2/a3=a1/a3).
En identifiant avec les valeurs données : −p=6 donne p=−6 ; q=11 directement ; −r=6 donne r=−6.
Ainsi P=X3−6X2+11X−6.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.