1.Pour trois points A, B, C d’affixes distinctes, zB−zAzC−zA∈R équivaut à A, B, C alignés.
2.La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ s’écrit z′=eiθz+ω, pour tout ω.
3.Toute similitude directe z′=az+b avec a=1 admet un unique point fixe.
4.La réflexion par rapport à l’axe réel, z′=zˉ, est de la forme z′=az+b étudiée pour les similitudes directes.
5.Deux vecteurs non nuls d’affixes z1 et z2 sont orthogonaux si et seulement si z2/z1 est un imaginaire pur.
On considère les points A(2−i), B(4+i) et C(x+3i), où x∈R.
Calculer zB−zAzC−zA en fonction de x.
zC−zA=(x−2)+4i,zB−zA=2+2i zB−zAzC−zA=2+2i(x−2)+4i=(2+2i)(2−2i)[(x−2)+4i](2−2i)=82(x−2)+8+i(8−2(x−2))
En déduire la valeur de x pour laquelle A, B, C sont alignés.
D’après le cours, A, B, C sont alignés si et seulement si zB−zAzC−zA∈R, c’est-à-dire si la partie imaginaire calculée en a. s’annule : 8−2(x−2)=0⟺x−2=4⟺x=6 Pour x=6, on vérifie que le rapport vaut 82(4)+8=816=2∈R : les trois points sont bien alignés, avec AC=2AB (C au-delà de B sur la droite (AB)).
Déterminer l’ensemble des points M(x+iy) (avec x,y∈R) tels que ∣z−2i∣=∣z−4∣, sous la forme d’une équation cartésienne, puis identifier cet ensemble.
D’après le cours, ∣z−2i∣=∣z−4∣ est l’équation de la médiatrice du segment [AB], où A a pour affixe 2i et B pour affixe 4. En élevant au carré (les deux membres étant positifs) : x2+(y−2)2=(x−4)2+y2 En développant : x2+y2−4y+4=x2−8x+16+y2 soit, après simplification des termes en x2 et y2 : −4y+4=−8x+16⟺8x−4y=12⟺y=2x−3 L’ensemble cherché est donc la droite d’équation y=2x−3 — cohérent avec le fait qu’une médiatrice est une droite.
6 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.