1.∣S5∣=120.
2.Toute transposition est une permutation impaire.
3.Le produit de deux permutations paires est toujours impair.
4.La décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints est unique, à l’ordre des facteurs près.
5.Deux cycles quelconques de Sn commutent toujours entre eux.
On considère la permutation σ∈S8 définie par : σ=(1421364855637287)
Décomposer σ en produit de cycles à supports disjoints.
En partant de 1 : 1→4→8→7→2→1, ce qui donne le cycle (1 4 8 7 2). L’élément 5 est fixe (σ(5)=5). En partant de 3 (non encore traité) : 3→6→3, ce qui donne le cycle (3 6). Tous les éléments sont traités, d’où : σ=(1 4 8 7 2)∘(3 6) Les supports {1,4,8,7,2} et {3,6} sont bien disjoints.
En déduire la signature de σ.
Le cycle (1 4 8 7 2) a pour longueur 5, donc contribue (−1)5−1=1 ; le cycle (3 6) a pour longueur 2, donc contribue (−1)2−1=−1. Par multiplicativité de la signature : ε(σ)=1×(−1)=−1 σ est donc une permutation impaire.
Écrire σ comme produit de transpositions, et vérifier la parité trouvée à la question précédente.
D’après la formule de décomposition d’un cycle en transpositions, (1 4 8 7 2)=(1 2)∘(1 7)∘(1 8)∘(1 4) (quatre transpositions), et (3 6) est déjà une transposition. Donc : σ=(1 2)∘(1 7)∘(1 8)∘(1 4)∘(3 6) C’est un produit de 5 transpositions, un nombre impair, ce qui confirme ε(σ)=−1.
On appelle ordre d’une permutation σ∈Sn le plus petit entier k⩾1 tel que σk=id (un tel entier existe toujours, car Sn est fini).
Soit c un cycle de longueur p. Montrer que cp=id, et que ck=id pour 1⩽k<p. Quel est donc l’ordre de c ?
Notons c=(a1 ⋯ ap). Par définition, c envoie ai sur ai+1 (indices modulo p), donc ck envoie ai sur ai+kmodp. Ainsi cp envoie ai sur ai pour tout i, et fixe les éléments hors du support comme c : cp=id. Pour 1⩽k<p, ck envoie a1 sur a1+k avec 1+k≡1(modp) (car 0<k<p), donc a1+k=a1 : ck(a1)=a1, donc ck=id. L’ordre de c est donc exactement p, sa longueur.
Soit σ=c1∘⋯∘cr la décomposition de σ en cycles à supports disjoints, de longueurs p1,…,pr. En utilisant que les ci commutent entre eux, montrer que σk=c1k∘⋯∘crk pour tout k⩾1, puis que l’ordre de σ vaut ppcm(p1,…,pr).
Comme les ci sont à supports disjoints deux à deux, ils commutent (proposition du cours), donc σk=(c1∘⋯∘cr)k=c1k∘⋯∘crk (on peut réordonner librement les facteurs qui commutent pour regrouper les puissances de chaque ci). De plus, les supports des ci étant disjoints, ceux des cik le restent aussi (chaque cik agit uniquement sur le support de ci), donc σk=id si et seulement si cik=id pour chaque i (un produit de permutations à supports disjoints est l’identité si et seulement si chaque facteur l’est). D’après la question a., cik=id équivaut à pi∣k. Donc σk=id équivaut à pi∣k pour tout i, c’est-à-dire ppcm(p1,…,pr)∣k. Le plus petit tel k⩾1 est donc exactement ppcm(p1,…,pr).
Application : quel est l’ordre de σ=(1 2 3)∘(4 5 6 7)∈S7 ?
Les longueurs des cycles disjoints sont 3 et 4, donc l’ordre de σ est ppcm(3,4)=12.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.