Nombres complexes

Exercice

Multiplicativité de l’exponentielle complexe

Le cours énonce la propriété $e^{i θ} \cdot e^{i θ^{'}} = e^{i (θ + θ^{'})}$ sans la démontrer. C’est pourtant elle qui fonde toutes les propriétés de l’argument (additivité, formule de Moivre…). Démontrons-la à partir des formules d’addition trigonométriques $cos (θ + θ^{'}) = cos θ cos θ^{'} - sin θ sin θ^{'}$ et $sin (θ + θ^{'}) = sin θ cos θ^{'} + cos θ sin θ^{'}$ , connues depuis le lycée.

Développer $e^{i θ} \cdot e^{i θ^{'}}$ en utilisant la définition $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ .

$e^{i θ} \cdot e^{i θ^{'}} = (cos θ + i sin θ) (cos θ^{'} + i sin θ^{'})$ $= cos θ cos θ^{'} + i cos θ sin θ^{'} + i sin θ cos θ^{'} + i^{2} sin θ sin θ^{'}$ $= (cos θ cos θ^{'} - sin θ sin θ^{'}) + i (cos θ sin θ^{'} + sin θ cos θ^{'})$

Conclure à l’aide des formules d’addition trigonométriques.

D’après les formules d’addition, $cos θ cos θ^{'} - sin θ sin θ^{'} = cos (θ + θ^{'})$ et $cos θ sin θ^{'} + sin θ cos θ^{'} = sin (θ + θ^{'})$ . En reportant dans le résultat de la question a. : $e^{i θ} \cdot e^{i θ^{'}} = cos (θ + θ^{'}) + i sin (θ + θ^{'}) = e^{i (θ + θ^{'})}$

Exercice

Racines $n$ -ièmes d’un complexe quelconque

Le cours énonce le théorème des racines $n$ -ièmes d’un complexe $a = ρ e^{i α}$ (avec $ρ > 0$ ) sans le démontrer, en renvoyant à un exemple. Rédigeons la preuve, qui suit exactement la même méthode que celle utilisée pour les racines $n$ -ièmes de l’unité.

Soit $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ . Traduire l’équation $z^{n} = a$ en une égalité sur les modules et une égalité sur les arguments.

$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ . L’égalité $z^{n} = a = ρ e^{i α}$ équivaut donc à $r^{n} e^{in θ} = ρ e^{i α}$ , ce qui se traduit par :

égalité des modules : $r^{n} = ρ$
égalité des arguments modulo $2 π$ : $n θ \equiv α [2 π]$

En déduire $r$ , puis les valeurs possibles de $θ$ .

Comme $r > 0$ et $ρ > 0$ , l’égalité $r^{n} = ρ$ donne $r = n ρ$ (racine $n$ -ième réelle positive de $ρ$ , qui existe et est unique).

L’égalité $n θ \equiv α [2 π]$ signifie qu’il existe $k \in Z$ tel que $n θ = α + 2 kπ$ , soit $θ = \frac{α + 2 kπ}{n}$ .

Montrer que l’on obtient exactement $n$ solutions distinctes, ce qui achève la preuve du théorème.

Les valeurs $θ_{k} = \frac{α + 2 kπ}{n}$ pour $k \in {0, 1, \dots, n - 1}$ donnent $n$ complexes $z_{k} = r e^{i θ_{k}}$ deux à deux distincts, car leurs arguments diffèrent de moins de $2 π$ entre eux.

Pour $k^{'} = k + n$ : $θ_{k^{'}} = \frac{α + 2 ( k + n ) π}{n} = θ_{k} + 2 π$ , donc $e^{i θ_{k^{'}}} = e^{i θ_{k}}$ (même argument modulo $2 π$ ) : on retrouve le même complexe $z_{k}$ . Ainsi, les valeurs de $k$ en dehors de ${0, \dots, n - 1}$ ne donnent aucune solution nouvelle.

L’équation $z^{n} = a$ admet donc exactement les $n$ solutions $z_{k} = n ρ \cdot e^{i \frac{α + 2 kπ}{n}}$ pour $k \in {0, \dots, n - 1}$ .

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