Morphismes

Pour $x,y\in \mathbb{R}$ : $f(x+y)=3(x+y)=3x+3y=f(x)+f(y)$, donc $f$ est un morphisme de groupes. $\mathrm{Ker}f=\{x\in \mathbb{R},3x=0\}=\{0\}$ : $f$ est même injective (théorème de caractérisation de l’injectivité par le noyau), et clairement surjective ($y=f(y/3)$), donc $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur lui-même.

Il suffit d’un contre-exemple : $g(1+1)=g(2)=4$, alors que $g(1)+g(1)=1+1=2\ne 4$. Donc $g$ n’est pas un morphisme de groupes.

Pour $x,y\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ : $h(xy)=(xy{)}^2=x^2{y}^2=h(x)h(y)$, donc $h$ est un morphisme de groupes. $\mathrm{Ker}h=\{x\in {\mathbb{R}}^{\ast },x^2=1\}=\{-1,1\}$, de cardinal $2$ : $h$ n’est donc pas injective. Pour l’image : tout carré d’un réel non nul est strictement positif, donc $\mathrm{Im}h\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ; réciproquement, pour $y>0$, $y=h(\sqrt{y})$, donc $\mathrm{Im}h={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. En particulier $h$ n’est pas surjective sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ tout entier.

Pour $x,y\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, la propriété fonctionnelle du logarithme donne $\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$ : c’est exactement la condition définissant un morphisme de $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ vers $(\mathbb{R},+)$.

$\ln$ est bijective de ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ sur $\mathbb{R}$ (fonction continue strictement croissante, de limites $-\infty$ en $0^{+}$ et $+\infty$ en $+\infty$), donc c’est un isomorphisme de groupes. Sa réciproque est $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$, qui est donc, d’après la proposition sur la réciproque d’un isomorphisme, également un isomorphisme de groupes — ce que l’on peut aussi vérifier directement, $\exp$ étant déjà connu comme morphisme.

L’existence d’un isomorphisme entre $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ et $(\mathbb{R},+)$ signifie que ces deux groupes, bien que portant des éléments et des lois de composition d’apparence complètement différente, ont exactement la même structure algébrique : $\ln$ transporte tout calcul multiplicatif dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ en le calcul additif correspondant dans $\mathbb{R}$, et réciproquement via $\exp$. C’est précisément ce principe qui justifie l’usage des tables de logarithmes pour transformer une multiplication en addition, historiquement bien avant l’invention des calculatrices.