Calculs matriciels

$$(AB{)}_{1,1}=2\times 1+1\times 0+0\times (-1)=2,(AB{)}_{1,2}=2\times 2+1\times 1+0\times 2=5$$ $$(AB{)}_{2,1}=1\times 1+(-1)\times 0+3\times (-1)=-2,(AB{)}_{2,2}=1\times 2+(-1)\times 1+3\times 2=7$$ $$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -2& 7\end{array}\right)$$

D’après le calcul précédent, $(AB{)}_{1,2}=5$.

$B\in M_{3,2}(\mathbb{R})$ et $A\in M_{2,3}(\mathbb{R})$ : le nombre de colonnes de $B$ ($2$) égale le nombre de lignes de $A$ ($2$), donc $BA$ est bien défini, et $BA\in M_3(\mathbb{R})$ — une matrice $3\times 3$, de taille différente de $AB\in M_2(\mathbb{R})$. C’est un exemple concret de la mise en garde du cours : même lorsque les deux produits sont définis, ils n’ont pas nécessairement la même taille.

$$N^2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=0$$ $3I_2$ est une matrice scalaire : d’après la remarque du cours, elle commute avec toute matrice, en particulier avec $N$.

Comme $N^2=0$, tous les termes de la formule du binôme avec $i⩾2$ dans le développement de $N^i$ s’annulent : seuls les termes $i=0$ et $i=1$ subsistent (en développant $(3I_2+N{)}^k={\sum }_i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(3I_2{)}^{k-i}{N}^i$) : $$A^k=(3I_2{)}^k+k(3I_2{)}^{k-1}N=3^k{I}_2+k{3}^{k-1}N=\left(\begin{array}{cc}{3}^k& k2\cdot 3^{k-1}\\ 0& 3^k\end{array}\right)$$ Pour $k=4$ : $3^4=81$, $4\times 2\times 3^3=4\times 2\times 27=216$, donc : $$A^4=\left(\begin{array}{cc}81& 216\\ 0& 81\end{array}\right)$$

D’après le calcul précédent, $(A^4{)}_{1,2}=216$.