1.S’il existe B∈Mn(K) telle que BA=In, alors A est inversible et B=A−1.
2.Le rang d’une matrice est la dimension du sous-espace engendré par ses colonnes.
3.L’ensemble des solutions d’un système AX=B avec B=0 est toujours un sous-espace vectoriel.
4.dimL(E,F)=dimE+dimF.
5.Une matrice carrée A est inversible si et seulement si ses colonnes engendrent Kn.
Soit u:R3→R2 définie par u(x,y,z)=(x+2y−z, 3x−y+z).
Vérifier que u est linéaire, et écrire sa matrice M dans les bases canoniques.
Pour (x,y,z),(x′,y′,z′)∈R3 et λ∈R, chaque coordonnée de u est une combinaison linéaire des coordonnées de l’antécédent, donc u est linéaire (vérification immédiate composante par composante). Les colonnes de M sont les images des vecteurs de la base canonique : u(1,0,0)=(1,3), u(0,1,0)=(2,−1), u(0,0,1)=(−1,1), donc : M=(132−1−11)
Calculer u(1,2,3) directement, puis retrouver ce résultat par un produit matriciel. Quelle est la première coordonnée de u(1,2,3) ?
Directement : u(1,2,3)=(1+4−3, 3−2+3)=(2,4). Par produit matriciel, avec X=(1,2,3)T : MX=(132−1−11)123=(1+4−33−2+3)=(24) On retrouve bien u(1,2,3)=(2,4), conformément à la proposition sur les coordonnées de l’image d’un vecteur.
Dans R2 muni de sa base canonique, on considère u,v∈L(R2) de matrices respectives A=(2011) et B=(1110).
Calculer la matrice de u∘v par produit matriciel.
D’après la proposition sur la matrice d’une composée, Mat(u∘v)=AB : AB=(2011)(1110)=(2×1+1×10×1+1×12×1+1×00×1+1×0)=(3120)
Vérifier directement, en calculant u(v(e1)), que ce calcul redonne bien la première colonne de AB.
v(e1) a pour coordonnées la première colonne de B, soit (1,1). Alors u(v(e1))=A(11)=(2×1+1×10×1+1×1)=(31), ce qui coïncide bien avec la première colonne de AB trouvée à la question précédente.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.