Que peut-on affirmer ?
1.Quelle est la négation de ∀x∈E,∃y∈F,x=f(y) ?
2.Laquelle de ces propositions est équivalente à ¬(P∨Q) ?
3.Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies pour toutes propositions P et Q ?
Soit f:R→R une fonction. Traduire en langage symbolique, à l’aide de quantificateurs, les affirmations suivantes.
« f s’annule au moins une fois. »
∃x∈R,f(x)=0
« f ne s’annule jamais. »
∀x∈R,f(x)=0. C’est bien la négation de la proposition précédente : « il n’existe pas » équivaut à « pour tout, ce n’est pas le cas que ».
« f s’annule en exactement un point. »
∃!x∈R,f(x)=0
Soient P1 et P2 deux propositions. Écrire la négation des propositions suivantes, de sorte que ¬ ne porte jamais sur une expression contenant déjà ∧, ∨, ⇒ ou ⇔.
P1∧P2
¬P1∨¬P2, par les lois de De Morgan.
P1⇒P2
P1⇒P2 est vraie sauf lorsque P1 est vraie et P2 fausse. Sa négation est donc exactement ce cas-là : P1∧¬P2.
Revenir à la définition de l’implication : P1⇒P2 est fausse dans un seul cas.
P1⇔P2
La négation est vraie quand P1 et P2 ont des valeurs de vérité différentes, c’est-à-dire quand exactement l’une des deux est vraie : c’est la définition de la disjonction exclusive, P1⊕P2.
P1⇔P2 est vraie quand P1 et P2 ont la même valeur de vérité.
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