1.Si x0∈R est adhérent à D, tout voisinage de x0 est nécessairement inclus dans D.
2.La caractérisation séquentielle de la limite est une équivalence (un « si et seulement si »).
3.Pour montrer que f n’a pas de limite en x0, il suffit d’exhiber une seule suite (un)→x0 telle que (f(un)) diverge (sans limite du tout).
4.Les croissances comparées permettent de lever directement la forme indéterminée xsinx en 0.
5.D’après le théorème de la limite monotone, une fonction croissante sur ]a,b[ admet nécessairement une limite finie en b−.
Montrer, directement à partir de la définition du cours, que x→3lim(x2−1)=8.
Soit ε>0. Pour x tel que ∣x−3∣<1 (donc 2<x<4, d’où 5<x+3<7, soit ∣x+3∣<7) : ∣(x2−1)−8∣=∣x2−9∣=∣x−3∣∣x+3∣<7∣x−3∣ Il suffit donc de choisir δ=min(1,7ε) : pour ∣x−3∣<δ, on a bien ∣x−3∣⩽1 (donc l’encadrement précédent s’applique) et ∣x2−9∣<7δ⩽ε. Ceci établit x→3lim(x2−1)=8.
Montrer que f(x)=x−2x2−4 (définie pour x=2) admet une limite en 2, et la calculer.
Pour x=2, x2−4=(x−2)(x+2), donc f(x)=x−2(x−2)(x+2)=x+2. Ainsi f(x)→2+2=4 quand x→2 — la limite à gauche et la limite à droite valent toutes deux 4 (elles coïncident même trivialement, f coïncidant avec la fonction affine x↦x+2 au voisinage épointé de 2), donc f admet bien une limite en 2, égale à 4.
Montrer que g(x)=x∣x∣ (définie pour x=0) n’admet pas de limite en 0, en calculant ses limites à gauche et à droite.
Pour x>0, ∣x∣=x donc g(x)=1 : x→0+limg(x)=1. Pour x<0, ∣x∣=−x donc g(x)=−1 : x→0−limg(x)=−1. Les limites à gauche et à droite existent mais diffèrent (1=−1) : d’après le critère du cours, g n’a donc pas de limite en 0.
6 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.