Six questions courtes sur la structure de R.
1.Soit A=[0,1[. Que vaut supA, et est-ce un maximum ?
2.Pour y⩾0, l’inégalité ∣x∣⩽y équivaut à :
3.Que vaut ⌊−3,2⌋ ?
4.La partie A={x∈Q ∣ x2<2} est-elle majorée dans Q, et admet-elle une borne supérieure dans Q ?
5.D’après le corollaire des inverses arbitrairement petits, pour tout ε>0, il existe n∈N∗ tel que :
6.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
Pour montrer l’existence de la borne inférieure, le cours utilise l’ensemble −A={−x ∣ x∈A} et applique l’axiome de la borne supérieure à −A. Établissons proprement l’identité qui sous-tend cette construction.
Soit A une partie non vide et majorée de R, et S=supA. Montrer que −A est minorée par −S.
Pour tout x∈A, on a x⩽S (car S majore A), donc −x⩾−S. Comme tout élément de −A s’écrit −x pour un certain x∈A, on a bien y⩾−S pour tout y∈−A : −S minore −A.
Montrer que −S est le plus grand des minorants de −A, c’est-à-dire que inf(−A)=−S.
Utilisons la caractérisation pratique de la borne inférieure : il faut montrer que pour tout ε>0, il existe un élément de −A strictement inférieur à −S+ε.
Soit ε>0. Comme S=supA, S−ε n’est pas un majorant de A : il existe x∈A tel que x>S−ε. Alors −x<−S+ε, et −x∈−A.
Ceci montre qu’aucun réel strictement supérieur à −S ne peut minorer −A (car on trouve toujours un élément de −A en dessous). Combiné à la question a., −S est bien le plus grand des minorants : inf(−A)=−S=−supA.
Reprendre la caractérisation pratique de la borne supérieure vue en cours, en l’adaptant à la borne inférieure : m est la borne inférieure de B si m minore B et si pour tout ε>0, il existe y∈B tel que y<m+ε.
L’introduction du cours affirme que x2=2 n’a pas de solution dans Q, sans le démontrer. Comblons cette lacune par la preuve classique, attribuée aux pythagoriciens.
Supposons par l’absurde 2∈Q. Justifier qu’on peut alors écrire 2=qp avec p,q∈N∗ et p,q sans facteur commun (fraction irréductible), et en déduire p2=2q2.
Tout rationnel positif peut s’écrire comme une fraction d’entiers naturels non nuls, et en simplifiant par leur plus grand diviseur commun, on peut toujours choisir une écriture qp où p et q n’ont aucun facteur commun. En élevant 2=qp au carré : 2=q2p2, soit p2=2q2.
Montrer que p est pair.
D’après la question précédente, p2=2q2 est pair. Si p était impair, on écrirait p=2m+1 avec m∈N, d’où p2=4m2+4m+1, qui est impair — contradiction. Donc p est pair.
En déduire que q est également pair, puis conclure.
Comme p est pair, écrivons p=2k avec k∈N∗. Alors p2=4k2=2q2, donc q2=2k2 est pair, et par le même argument qu’à la question b., q est pair.
Ainsi p et q sont tous deux pairs, donc tous deux divisibles par 2 : ils ont un facteur commun, ce qui contredit le choix d’une fraction irréductible à la question a.
Cette contradiction montre que l’hypothèse de départ était fausse : 2∈/Q.
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