Intégration de Riemann

La somme s’écrit $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ avec $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$, continue sur $[0,1]$ : c’est une somme de Riemann à pas constant. D’après le corollaire des sommes de Riemann à pas constant, elle converge vers ${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx$. On vérifie par dérivation directe que $x\mapsto \frac{1}{2}\ln (1+x^2)$ est une primitive de $f$, d’où $${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx={\left[\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\right]}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2$$

Notons $P_n={\left(\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)}^{1/n}$. Alors $\ln P_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$, somme de Riemann à pas constant associée à $g(x)=\ln (1+x)$, continue sur $[0,1]$ : $\ln P_n\to {\int }_0^1\ln (1+x)dx$. On vérifie par dérivation directe que $x\mapsto (1+x)\ln (1+x)-(1+x)$ est une primitive de $g$, d’où $${\int }_0^1\ln (1+x)dx=[(1+x)\ln (1+x)-(1+x){]}_0^1=(2\ln 2-2)-(-1)=2\ln 2-1$$ Par continuité de l’exponentielle, $P_n=e^{\ln P_n}\to e^{2\ln 2-1}=\frac{4}{e}$.

$f$ est continue sur $[0,1]$, donc $f^2$ l’est également (produit de fonctions continues), et $f^2(x)=f(x{)}^2⩾0$ en tout point : $f^2$ est continue et positive sur $[0,1]$. Par hypothèse, ${\int }_0^1{f}^2=0$. La proposition de nullité, appliquée à $f^2$, donne $f^2=0$ sur $[0,1]$, donc $f=0$ sur $[0,1]$.

$f-g$ est continue sur $[0,1]$ (différence de fonctions continues) et vérifie ${\int }_0^1(f-g{)}^2=0$ par hypothèse. D’après la question a., appliquée à $f-g$, on obtient $f-g=0$ sur $[0,1]$, soit $f=g$ sur $[0,1]$.

Par linéarité, ${\int }_0^1(f-g{)}^2={\int }_0^1{f}^2-2{\int }_0^{1}fg+{\int }_0^1{g}^2$. Sous les hypothèses données, cette somme vaut ${\int }_0^{1}fg-2{\int }_0^{1}fg+{\int }_0^{1}fg=0$. D’après la question b., $f=g$ sur $[0,1]$ : oui, ces hypothèses suffisent bien à conclure.