Géométrie plane

$⟨\vec{u}\mid \vec{v}⟩=3\times 1+4\times 2=3+8=11$. $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Donc $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{11}{5\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{25}\approx 0,98387$.

$\det (\vec{u},\vec{v})=3\times 2-1\times 4=6-4=2$. D’après le théorème d’interprétation géométrique du déterminant, l’aire du parallélogramme vaut $|\det (\vec{u},\vec{v})|=2$, et comme ce déterminant est strictement positif, $(\vec{u},\vec{v})$ est une base directe.

$\sin (\vec{u},\vec{v})=\frac{\det (\vec{u},\vec{v})}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }=\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx 0,17889$. On vérifie $\cos (\vec{u},\vec{v}{)}^2+\sin (\vec{u},\vec{v}{)}^2=\frac{121}{125}+\frac{4}{125}=\frac{125}{125}=1$, conformément au théorème de mesure d’un angle orienté.

$⟨\vec{u}\mid \vec{v}⟩=-1$, $\det (\vec{u},\vec{v})=1\times \sqrt{3}-(-1)\times 0=\sqrt{3}$, $\Vert \vec{u}\Vert =1$, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{1+3}=2$. Donc $\cos (\vec{u},\vec{v})=-\frac{1}{2}$ et $\sin (\vec{u},\vec{v})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Le point de coordonnées $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ sur le cercle trigonométrique correspond à l’angle $\theta =\frac{2\pi }{3}$ (valeur usuelle) : $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ et $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ce qui coïncide avec les valeurs trouvées. Donc $(\vec{u},\vec{v})\equiv \frac{2\pi }{3}[2\pi ]$.

D’après la propriété du cours, $\vec{u}\perp \vec{v}⟺(\vec{u},\vec{v})\equiv \pi /2[\pi ]$, et $\vec{u},\vec{v}$ colinéaires $⟺(\vec{u},\vec{v})\equiv 0[\pi ]$. Comme $\frac{2\pi }{3}$ n’est ni congru à $\pi /2$ ni à $0$ modulo $\pi$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont ni orthogonaux ni colinéaires.