Géométrie dans l'espace

$⟨\vec{u}\mid \vec{v}⟩=1\times 0+2\times 1+3\times 4=0+2+12=14$.

$\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\approx 3,74166$.

$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{0+1+16}=\sqrt{17}\approx 4,12311$.

$$\det (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=1\times (1\times (-1)-4\times 0)-2\times (0\times (-1)-4\times 2)+3\times (0\times 0-1\times 2)$$ $$=1\times (-1)-2\times (-8)+3\times (-2)=-1+16-6=9$$ D’après le théorème d’interprétation géométrique du déterminant, le volume du parallélépipède vaut $|\det (\vec{u},\vec{v},\vec{w})|=9$, et comme ce déterminant est strictement positif, $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est une base directe.

Par trilinéarité et alternance du déterminant, $\det (\vec{u},\vec{v},\vec{u}+\vec{v})=\det (\vec{u},\vec{v},\vec{u})+\det (\vec{u},\vec{v},\vec{v})=0+0=0$, puisque le déterminant s’annule dès que deux arguments coïncident. D’après le critère de coplanarité, $\vec{u},\vec{v},{\vec{w}}^{\prime }$ sont donc coplanaires — ce qui est cohérent, puisque ${\vec{w}}^{\prime }$ est par construction combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$ et $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(ABC)$. En cherchant $\vec{n}=(a,b,c)$ orthogonal à ces deux vecteurs, $-a+b=0$ et $-a+c=0$ donnent $b=c=a$ : on peut prendre $\vec{n}=(1,1,1)$. L’équation cartésienne de $(ABC)$, de vecteur normal $(1,1,1)$ et passant par $A$, est donc $1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0$, soit $x+y+z-1=0$.

D’après le théorème de distance d’un point à un plan, avec $a=b=c=1,d=-1$ : $$d(O,(ABC))=\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,57735$$

$⟨\vec{n}\mid \overrightarrow{AB}⟩=1\times (-1)+1\times 1+1\times 0=-1+1+0=0$, et $⟨\vec{n}\mid \overrightarrow{AC}⟩=1\times (-1)+1\times 0+1\times 1=-1+0+1=0$ : $\vec{n}$ est bien orthogonal aux deux vecteurs directeurs du plan, ce qui confirme le calcul de la question a.