Fonctions réelles

On écrit $f_1=g\circ h$ avec $h(x)=x^3$ (impaire) et $g=\cos$ (paire). D’après la proposition du cours, si $h$ est impaire et $g$ est paire, alors $g\circ h$ est paire. Donc $f_1$ est paire.

(Vérification directe : $f_1(-x)=\cos ((-x{)}^3)=\cos (-x^3)=\cos (x^3)=f_1(x)$, car $\cos$ est paire.)

On écrit $f_2=g\circ h$ avec $h(x)=x^2$ (paire) et $g=\sin$. D’après le cours, dès que $h$ est paire, $g\circ h$ est paire quelle que soit la parité de $g$ — ici $g=\sin$ est pourtant impaire, mais cela n’empêche pas $f_2$ d’être paire.

(Vérification directe : $f_2(-x)=\sin ((-x{)}^2)=\sin (x^2)=f_2(x)$.)

On écrit $f_3=g\circ h$ avec $h(x)=x^3$ (impaire) et $g=\tan$ (impaire). D’après le cours, si $h$ et $g$ sont toutes deux impaires, $g\circ h$ est impaire. Donc $f_3$ est impaire.

La fonction $x\mapsto e^{x^2}$ s’écrit $g\circ h$ avec $h(x)=x^2$ (paire) et $g=\exp$ : comme $h$ est paire, $g\circ h$ est paire, quelle que soit la parité de $g$. Donc $x\mapsto e^{x^2}$ est paire.

Mais $f_4$ est la somme de $x\mapsto e^{x^2}$ (paire) et de $x\mapsto x$ (impaire) — pas une composée. Or la somme d’une fonction paire non nulle et d’une fonction impaire non nulle n’est en général ni paire ni impaire : ici, $f_4(-x)=e^{x^2}-x$, qui n’est égal ni à $f_4(x)=e^{x^2}+x$ (sauf si $x=0$), ni à $-f_4(x)=-e^{x^2}-x$ (sauf si $e^{x^2}=0$, impossible). Donc $f_4$ n’est ni paire ni impaire.

On écrit $f_1=g\circ h$ avec $h(x)=1+x^2$ et $g=\ln$. Sur $[0,+\infty [$, $h$ est croissante (translatée verticale de $x\mapsto x^2$, elle-même croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$), à valeurs dans $[1,+\infty [\subset ]0,+\infty [$ où $g=\ln$ est croissante. Même sens de variation : $f_1$ est croissante sur $[0,+\infty [$.

On écrit $f_2=g\circ h$ avec $h(x)=-x^2$ et $g=\exp$. Sur $[0,+\infty [$, $h$ est décroissante (opposée de $x^2$, croissante), et $g=\exp$ est croissante. Sens de variation opposés : $f_2$ est décroissante sur $[0,+\infty [$.

On écrit $f_3=g\circ h$ avec $h(x)=1+x^2$ (croissante sur $[0,+\infty [$, à valeurs dans $[1,+\infty [$) et $g(u)=\frac{1}{u}$, décroissante sur $]0,+\infty [$. Sens de variation opposés : $f_3$ est décroissante sur $[0,+\infty [$.