Fonctions élémentaires

En appliquant la relation fonctionnelle à $x=y=1$ : $\ln (1\times 1)=\ln 1+\ln 1$, soit $\ln 1=2\ln 1$. Donc $\ln 1=0$.

Pour $x>0$, la relation fonctionnelle donne $\ln \left(x\times \frac{1}{x}\right)=\ln x+\ln \frac{1}{x}$. Or $x\times \frac{1}{x}=1$, donc le membre de gauche vaut $\ln 1=0$ (question a.). Ainsi $0=\ln x+\ln \frac{1}{x}$, d’où $\ln \frac{1}{x}=-\ln x$.

Initialisation. Pour $n=0$ : $\ln (x^0)=\ln 1=0=0\times \ln x$. La propriété est vraie.

Hérédité. Supposons $\ln (x^n)=n\ln x$ pour un certain $n\in \mathbb{N}$. Alors, comme $x^{n+1}=x^n\times x$, la relation fonctionnelle donne : $$\ln (x^{n+1})=\ln (x^n\times x)=\ln (x^n)+\ln x=n\ln x+\ln x=(n+1)\ln x$$ La propriété est donc vraie au rang $n+1$, ce qui achève la récurrence.

Pour l’hérédité, écrire $x^{n+1}=x^n\times x$ et appliquer la relation fonctionnelle.

Un carré réel est toujours positif ou nul, donc ${\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)}^2⩾0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

En développant : ${\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)}^2=e^x-2e^{x/2}{e}^{-x/2}+e^{-x}=e^x-2+e^{-x}$ (car $e^{x/2}{e}^{-x/2}=e^0=1$).

L’inégalité devient donc $e^x-2+e^{-x}⩾0$, soit $e^x+e^{-x}⩾2$.

D’après la question a., $e^x+e^{-x}⩾2$. En divisant par $2$ : $\frac{e^x+e^{-x}}{2}⩾1$, c’est-à-dire $\mathrm{ch}x⩾1$.

L’égalité dans ${\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)}^2⩾0$ a lieu si et seulement si $e^{x/2}-e^{-x/2}=0$, c’est-à-dire $e^{x/2}=e^{-x/2}$, soit $x/2=-x/2$ (l’exponentielle étant injective), donc $x=0$. L’égalité $\mathrm{ch}x=1$ a donc lieu uniquement en $x=0$.