1.L’existence des deux dérivées partielles de f en un point entraîne la continuité de f en ce point.
2.Le gradient de f indique la direction dans laquelle f croît le plus vite.
3.Tout point critique d’une fonction de classe C1 est un extremum local.
4.Le gradient de f en un point est orthogonal à la ligne de niveau de f qui y passe.
5.Si f est de classe C1 sur un ouvert U et admet un maximum local en a∈U, alors a est un point critique de f.
On considère f(x,y)=x2y+y3.
Calculer ∂x∂f(x,y) et ∂y∂f(x,y).
∂x∂f(x,y)=2xy (on dérive par rapport à x en gelant y). ∂y∂f(x,y)=x2+3y2 (on dérive par rapport à y en gelant x).
En déduire la première composante de ∇f(1,2), c’est-à-dire ∂x∂f(1,2).
∂x∂f(1,2)=2×1×2=4.
En déduire la seconde composante de ∇f(1,2), c’est-à-dire ∂y∂f(1,2).
∂y∂f(1,2)=12+3×22=1+12=13. Donc ∇f(1,2)=(4,13).
f est-elle de classe C1 sur R2 ?
Les deux dérivées partielles 2xy et x2+3y2 sont des fonctions polynomiales de (x,y), donc continues sur R2 tout entier : f est bien de classe C1 sur R2.
On considère f(x,y)=x2+y2, et le point (x0,y0)=(3,4).
Calculer ∇f(3,4).
∂x∂f(x,y)=x2+y2x et ∂y∂f(x,y)=x2+y2y. En (3,4), x2+y2=9+16=5, donc ∇f(3,4)=(53,54)=(0,6, 0,8).
En déduire une approximation de f(3,1; 3,9) à l’aide du développement limité à l’ordre 1.
Avec h=0,1 et k=−0,1 : f(3,1; 3,9)≈f(3,4)+∂x∂f(3,4)×0,1+∂y∂f(3,4)×(−0,1)=5+0,6×0,1−0,8×0,1=5+0,06−0,08=4,98
Comparer à la valeur exacte 3,12+3,92.
3,12+3,92=9,61+15,21=24,82≈4,9820, très proche de l’approximation 4,98 trouvée par le DL à l’ordre 1 — l’écart, de l’ordre de 2×10−3, est bien un o(∥(h,k)∥) avec ∥(h,k)∥=∥(0,1,−0,1)∥≈0,141.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.