Familles sommables

Le terme général se factorise : $\frac{1}{(p+1{)}^2(q+1{)}^2}=\frac{1}{(p+1{)}^2}\cdot \frac{1}{(q+1{)}^2}$. Par le théorème de Fubini positif : $$\sum _{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}\frac{1}{(p+1{)}^2(q+1{)}^2}=\sum _{p\in \mathbb{N}}\left(\frac{1}{(p+1{)}^2}\sum _{q\in \mathbb{N}}\frac{1}{(q+1{)}^2}\right)=\left(\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}\right)\left(\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}\right)={\left(\frac{{\pi }^2}{6}\right)}^2$$ Cette somme est finie, donc la famille est sommable, de somme $\frac{{\pi }^4}{36}\approx 2,706$.

Le terme général se factorise : $\frac{1}{2^{p+q}}=\frac{1}{2^p}\cdot \frac{1}{2^q}$. Par Fubini positif : $$\sum _{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}\frac{1}{2^{p+q}}=\left(\sum _{p\in \mathbb{N}}\frac{1}{2^p}\right)\left(\sum _{q\in \mathbb{N}}\frac{1}{2^q}\right)=2\times 2=4$$ La famille est sommable, de somme $4$.

Pour $n\in \mathbb{N}$ fixé, les couples $(p,q)\in {\mathbb{N}}^2$ avec $p+q=n$ sont $(0,n),(1,n-1),\dots ,(n,0)$ : il y en a exactement $n+1$.

Sur $I_n$, tous les termes valent $\frac{1}{(n+1{)}^2}$ (car $p+q=n$), et $I_n$ compte $n+1$ éléments, donc $\sum _{(p,q)\in I_n}\frac{1}{(p+q+1{)}^2}=\frac{n+1}{(n+1{)}^2}=\frac{1}{n+1}$. La série ${\sum }_n\frac{1}{n+1}$ est la série harmonique décalée, qui diverge.

Si la famille était sommable, le théorème de sommation par paquets appliqué à la partition par diagonales donnerait $\sum _{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}\frac{1}{(p+q+1{)}^2}=\sum _n\frac{1}{n+1}<+\infty$, ce qui contredit la divergence établie à la question précédente. La famille ${\left(\frac{1}{(p+q+1{)}^2}\right)}_{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}$ n’est donc pas sommable, bien que chaque terme individuel tende vers $0$.