1.Pour toutes variables aléatoires réelles X,Y et tous réels a,b, E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y), sans aucune hypothèse d’indépendance.
2.Pour toutes variables aléatoires réelles X,Y, E(XY)=E(X)E(Y).
3.La formule de König-Huygens donne V(X)=E(X2)−E(X)2.
4.Cov(X,Y)=0 implique que X et Y sont indépendantes.
5.Pour des variables aléatoires deux à deux indépendantes (pas nécessairement mutuellement indépendantes), la variance de leur somme est la somme de leurs variances.
Soit X une variable aléatoire de loi P(X=−1)=0,2, P(X=0)=0,3, P(X=2)=0,5.
Vérifier que cette loi est bien une probabilité.
0,2+0,3+0,5=1 : la somme des probabilités vaut bien 1.
Calculer E(X).
E(X)=(−1)×0,2+0×0,3+2×0,5=−0,2+0+1=0,8
Vérifier directement, à partir de la loi de X−E(X), que X−E(X) est centrée.
Y=X−E(X)=X−0,8 prend les valeurs −1,8 (proba 0,2), −0,8 (proba 0,3) et 1,2 (proba 0,5). Par la formule de transfert : E(Y)=(−1,8)×0,2+(−0,8)×0,3+1,2×0,5=−0,36−0,24+0,6=0 Y est bien centrée, conformément à la propriété générale du cours.
On reprend la variable X de l’exercice précédent : P(X=−1)=0,2, P(X=0)=0,3, P(X=2)=0,5, avec E(X)=0,8.
Calculer E(X2) à l’aide de la formule de transfert.
D’après la formule de transfert appliquée à f(x)=x2 : E(X2)=(−1)2×0,2+02×0,3+22×0,5=0,2+0+2=2,2
En déduire V(X) à l’aide de la formule de König-Huygens.
V(X)=E(X2)−E(X)2=2,2−0,82=2,2−0,64=1,56
Calculer l’écart-type σ(X).
σ(X)=V(X)=1,56≈1,25
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.