1.Le produit scalaire canonique de Rn est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
2.L’inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.
3.Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est toujours libre.
4.Pour p⩾3 vecteurs, ∥∑ixi∥2=∑i∥xi∥2 entraîne que la famille est orthogonale deux à deux.
5.Deux produits scalaires distincts peuvent induire la même norme.
Dans R3 muni du produit scalaire canonique, on pose x=(1,2,−2) et y=(3,0,4).
Calculer ⟨x,y⟩.
⟨x,y⟩=1×3+2×0+(−2)×4=3+0−8=−5.
Calculer ∥x∥.
∥x∥=12+22+(−2)2=1+4+4=9=3.
Calculer ∥y∥.
∥y∥=32+02+42=9+0+16=25=5.
Vérifier l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur cet exemple. Que vaut le majorant ∥x∥∥y∥ ?
∣⟨x,y⟩∣=∣−5∣=5, et ∥x∥⋅∥y∥=3×5=15. On a bien 5⩽15, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée, strictement (l’inégalité n’est pas une égalité).
L’inégalité est-elle une égalité ? Que peut-on en conclure sur x et y ?
Comme 5=15, l’inégalité est stricte : d’après le cas d’égalité du théorème de Cauchy-Schwarz, x et y ne sont donc pas colinéaires — ce que l’on peut vérifier directement, puisqu’il n’existe aucun λ tel que (1,2,−2)=λ(3,0,4) (la deuxième coordonnée de y est nulle, alors que celle de x ne l’est pas).
Dans R3 muni du produit scalaire canonique, on pose x=(1,2,2) et y=(2,−1,2).
Calculer ∥x∥2.
∥x∥2=1+4+4=9.
Calculer ∥y∥2.
∥y∥2=4+1+4=9.
Calculer ∥x+y∥2.
x+y=(3,1,4), donc ∥x+y∥2=9+1+16=26.
En déduire ⟨x,y⟩ par la formule de polarisation, sans calculer directement le produit scalaire.
D’après la formule de polarisation, ⟨x,y⟩=21(∥x+y∥2−∥x∥2−∥y∥2)=21(26−9−9)=28=4.
Vérifier ce résultat en calculant directement ⟨x,y⟩.
⟨x,y⟩=1×2+2×(−1)+2×2=2−2+4=4, ce qui confirme le résultat de la question d.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.