Espaces euclidiens

$\Vert e_1{\Vert }^2=\frac{1}{2}(1+1)=1$, $\Vert e_2{\Vert }^2=\frac{1}{2}(1+1)=1$, $\Vert e_3{\Vert }^2=1$ : les trois vecteurs sont unitaires. $⟨e_1,e_2⟩=\frac{1}{2}(1-1+0)=0$, $⟨e_1,e_3⟩=0$, $⟨e_2,e_3⟩=0$ : ils sont deux à deux orthogonaux. C’est donc une famille orthonormée de $3=\dim {\mathbb{R}}^3$ vecteurs, donc une base orthonormée.

$⟨x,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(3+1)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. $⟨x,e_2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(3-1)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. $⟨x,e_3⟩=2$. Les coordonnées de $x$ dans $(e_1,e_2,e_3)$ sont donc $(2\sqrt{2},\sqrt{2},2)$ ; la troisième coordonnée vaut $2$.

$$2\sqrt{2}{e}_1+\sqrt{2}{e}_2+2e_3=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)+\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)+2(0,0,1)=2(1,1,0)+(1,-1,0)+(0,0,2)=(3,1,2)$$ On retrouve bien $x=(3,1,2)$.

Cherchons $v=(a,b,c)$ avec $a+b+c=0$ (orthogonalité à $(1,1,1)$) et $a^2+b^2+c^2=1$. Le choix $v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ convient : $1-1+0=0$ (orthogonal à $e_1$), et $\frac{1}{2}(1+1)=1$ (unitaire).

$$e_1\times v=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)=\frac{1}{\sqrt{6}}(1\times 0-1\times (-1),1\times 1-1\times 0,1\times (-1)-1\times 1)=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$$ Par propriété du produit vectoriel, ce vecteur est orthogonal à la fois à $e_1$ et à $v$, et de norme $\Vert e_1\Vert \Vert v\Vert \sin (\pi /2)=1$ (car $e_1\perp v$) : c’est bien un vecteur unitaire. On pose $e_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$.

$(e_1,v,e_3)$ est une famille de $3$ vecteurs, deux à deux orthogonaux (par construction) et tous unitaires : c’est une famille orthonormée de $3=\dim {\mathbb{R}}^3$ vecteurs, donc une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$, complétant bien $e_1$ conformément au théorème de la base orthonormée incomplète.