Équations différentielles

Le coefficient est $a(x)=\frac{1}{x}$, dont une primitive sur $I$ est $A(x)=\ln x$. D’après le théorème de résolution de l’équation homogène, les solutions sont $y(x)=C{e}^{-\ln x}=\frac{C}{x}$, $C\in \mathbb{R}$.

$y^{\prime }(x)=\frac{C^{\prime }(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}$. En reportant dans $(E)$ : $$\frac{C^{\prime }(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}+\frac{1}{x}\cdot \frac{C(x)}{x}=\frac{C^{\prime }(x)}{x}=x⟹C^{\prime }(x)=x^2$$ donc $C(x)=\frac{x^3}{3}$ convient (constante nulle), d’où $y_p(x)=\frac{x^2}{3}$.

D’après le théorème de structure, la solution générale est : $$y(x)=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x},C\in \mathbb{R}$$ Vérification de $y_p$ : $y_p^{\prime }(x)=\frac{2x}{3}$, et $y_p^{\prime }+\frac{1}{x}{y}_p=\frac{2x}{3}+\frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{3}=\frac{2x}{3}+\frac{x}{3}=x$, ce qui confirme le résultat.

$(E_c):r^2-5r+6=0$, de discriminant $\Delta =25-24=1>0$, racines $r=\frac{5\pm 1}{2}$, soit $r_1=2$ et $r_2=3$. D’après le corollaire (cas $\Delta >0$), la solution générale est : $$y(x)=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x},(C_1,C_2)\in {\mathbb{R}}^2$$

$y(0)=C_1+C_2=1$. $y^{\prime }(x)=2C_1{e}^{2x}+3C_2{e}^{3x}$, donc $y^{\prime }(0)=2C_1+3C_2=0$. En substituant $C_1=1-C_2$ dans la seconde équation : $2(1-C_2)+3C_2=0\Rightarrow 2+C_2=0\Rightarrow C_2=-2$.

$C_1=1-C_2=1-(-2)=3$.

$$y(x)=3e^{2x}-2e^{3x}$$ D’après le théorème de Cauchy pour les équations linéaires du second ordre, cette solution est l’unique fonction définie sur $\mathbb{R}$ tout entier vérifiant à la fois l’équation et les deux conditions initiales $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$.