Ensembles

Par double inclusion : il faut montrer $A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)$ puis l’inclusion réciproque.

Soit $x\in A\cup (B\cap C)$. Deux cas se présentent.

Si $x\in A$, alors $x\in A\cup B$ et $x\in A\cup C$, donc $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Si $x\in B\cap C$, alors $x\in B$ donc $x\in A\cup B$, et $x\in C$ donc $x\in A\cup C$. Donc $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Dans les deux cas, $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Soit $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$. Si $x\in A$, alors $x\in A\cup (B\cap C)$ directement.

Sinon $x\notin A$. Comme $x\in A\cup B$, il faut alors $x\in B$. Comme $x\in A\cup C$, il faut alors $x\in C$. Donc $x\in B\cap C$, d’où $x\in A\cup (B\cap C)$.

Les deux inclusions étant montrées, on conclut $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Soit $x\in A\setminus (A\setminus B)$. Cela signifie $x\in A$ et $x\notin (A\setminus B)$.

Or $x\notin (A\setminus B)$ signifie qu’on n’a pas à la fois $x\in A$ et $x\notin B$. Comme on sait déjà $x\in A$, la seule possibilité restante est $x\in B$.

Donc $x\in A$ et $x\in B$, c’est-à-dire $x\in A\cap B$. Ceci montre $A\setminus (A\setminus B)\subset A\cap B$.

Réciproquement, soit $x\in A\cap B$. Alors $x\in A$. Comme $x\in B$, on n’a pas $x\notin B$, donc la condition « $x\in A$ et $x\notin B$ » est fausse, c’est-à-dire $x\notin (A\setminus B)$. Ainsi $x\in A\setminus (A\setminus B)$.

Les deux inclusions donnent l’égalité.

Traduire directement l’appartenance à $A\setminus (A\setminus B)$ à l’aide de « et », « ou » et « non », en utilisant que $x\in A$ est déjà acquis.