Développements limités

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.

$$(1+x)\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+x+x^2+\frac{x^3}{2}+o(x^3)=1+2x+\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}+o(x^3)$$ (le terme $x\cdot \frac{x^3}{6}=\frac{x^4}{6}$ étant de degré $4>3$, on l’omet directement conformément à la règle du produit tronqué). Donc : $$(1+x)e^x=1+2x+\frac{3}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^3+o(x^3)$$

D’après la méthode de calcul d’équivalents à partir d’un DL, le premier terme non nul de $(1+x)e^x-1=2x+\frac{3}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^3+o(x^3)$ est $2x$, donc $(1+x)e^x-1\sim 2x$ au voisinage de $0$.

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ donne $\cos x-1+\frac{x^2}{2}=o(x^2)$, ce qui indique seulement que le numérateur est négligeable devant $x^2$ — insuffisant pour comparer à $x^4$ au dénominateur : il faut pousser le DL de $\cos x$ au-delà de l’ordre $2$.

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$, donc $\cos x-1+\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{24}+o(x^4)\sim \frac{x^4}{24}$ au voisinage de $0$.

$$\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}\sim \frac{x^4/24}{x^4}=\frac{1}{24}\underset{x\to 0}{\to }\frac{1}{24}$$