Déterminants

$\det \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)=2\times 4-3\times 1=8-3=5$. Ce déterminant est non nul, donc la matrice est inversible.

Par la règle de Sarrus, avec $a_{11}=1,a_{12}=0,a_{13}=2,a_{21}=3,a_{22}=1,a_{23}=1,a_{31}=2,a_{32}=4,a_{33}=0$ : $$\det =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$ $$=(1)(1)(0)+(0)(1)(2)+(2)(3)(4)-(2)(1)(2)-(0)(3)(0)-(1)(1)(4)=0+0+24-4-0-4=16$$

Ces deux opérations consistent à ajouter à une colonne un multiple d’une autre colonne, ce qui ne modifie pas le déterminant (propriété du cours). On obtient : $$C_2\leftarrow C_2-\frac{1}{2}{C}_1:\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 7\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right),C_3\leftarrow C_3-\frac{1}{2}{C}_1:\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$$ d’où $A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 4& 1& 1\\ 8& 3& 5\end{array}\right)$, avec $\det (A^{\prime })=\det (A)$.

$C_3\leftarrow C_3-C_2:\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, d’où $A^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 4& 1& 0\\ 8& 3& 2\end{array}\right)$, triangulaire inférieure, avec $\det (A^{\prime \prime })=\det (A^{\prime })=\det (A)$ (encore une addition d’un multiple d’une colonne à une autre).

$A^{\prime \prime }$ est triangulaire inférieure, de coefficients diagonaux $2,1,2$, donc $\det (A^{\prime \prime })=2\times 1\times 2=4$. D’après les questions précédentes, $\det (A)=\det (A^{\prime \prime })=4$.