Sept questions courtes sur le dénombrement.
1.Combien y a-t-il d’applications de {1,2,3} dans {a,b} ?
2.Que vaut (25) ?
3.Que vaut A52 (nombre d’arrangements de 2 éléments parmi 5) ?
4.Pour E,F deux ensembles finis quelconques, à quoi est égal card(E∪F) ?
5.Que vaut (06) ?
6.Combien y a-t-il de permutations d’un ensemble à 4 éléments ?
7.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
Montrons, par récurrence à l’aide de la formule de Pascal, que pour tout p∈N et tout n⩾p : k=0∑n(pk)=(p+1n+1) (avec la convention (pk)=0 pour k<p, vue en cours).
Vérifier l’identité au rang n=p (initialisation).
Pour n=p, tous les termes (pk) pour k<p sont nuls (convention), donc la somme se réduit à (pp)=1. Or (p+1p+1)=1 également. L’identité est donc vérifiée au rang n=p.
Supposant l’identité vraie à un rang n⩾p, la démontrer au rang n+1.
Supposons k=0∑n(pk)=(p+1n+1). Alors : k=0∑n+1(pk)=(k=0∑n(pk))+(pn+1)=(p+1n+1)+(pn+1) (en utilisant l’hypothèse de récurrence pour la somme entre parenthèses).
D’après la formule de Pascal, (pn+1)+(p+1n+1)=(p+1n+2). Donc : k=0∑n+1(pk)=(p+1n+2)
L’identité est donc vraie au rang n+1, ce qui achève la récurrence.
Isoler le dernier terme de la somme au rang n+1, utiliser l’hypothèse de récurrence sur le reste, puis appliquer la formule de Pascal.
Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l’espagnol, 15 étudient l’allemand, et 8 étudient les deux langues.
Combien d’élèves étudient au moins l’une des deux langues ?
Notons E l’ensemble des élèves étudiant l’espagnol et A celui des élèves étudiant l’allemand, avec card(E)=18, card(A)=15, card(E∩A)=8. D’après la formule du cours : card(E∪A)=card(E)+card(A)−card(E∩A)=18+15−8=25
Combien d’élèves n’étudient aucune des deux langues ?
La classe compte 30 élèves au total, dont 25 étudient au moins une des deux langues (question a.). Les autres n’en étudient aucune : 30−25=5 élèves.
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