1.Une fonction convexe sur R est nécessairement dérivable.
2.Si f′′⩾0 sur I, alors f est convexe sur I.
3.Le graphe d’une fonction convexe et dérivable est toujours situé au-dessus de chacune de ses tangentes.
4.Une fonction concave et dérivable a une dérivée croissante.
5.Si f est convexe sur I, alors pour tous x,y∈I, f(2x+y)⩽2f(x)+f(y).
Étudier la convexité de f(x)=x4 sur R.
f′(x)=4x3, f′′(x)=12x2⩾0 pour tout x∈R. Donc f est convexe sur R.
Étudier la convexité de g(x)=x1 sur ]0,+∞[.
g′(x)=−x21, g′′(x)=x32. Pour x>0, g′′(x)>0. Donc g est convexe sur ]0,+∞[.
Étudier la convexité de h(x)=sinx sur [0,π].
h′(x)=cosx, h′′(x)=−sinx. Sur [0,π], sinx⩾0, donc h′′(x)⩽0 sur [0,π] : h est concave sur [0,π].
On se propose de retrouver, pour x1,x2,x3>0, l’inégalité 3x1x2x3⩽3x1+x2+x3 (moyenne géométrique ⩽ moyenne arithmétique) à l’aide de la concavité du logarithme.
Appliquer l’inégalité de Jensen à la fonction ln (concave sur ]0,+∞[), avec λ1=λ2=λ3=31.
Comme ln est concave, −ln est convexe, et l’inégalité de Jensen appliquée à −ln (ou, de façon équivalente, l’inégalité de Jensen inversée pour une fonction concave) donne : ln(3x1+x2+x3)⩾3lnx1+lnx2+lnx3
En déduire l’inégalité arithmético-géométrique annoncée.
Le membre de droite vaut 31ln(x1x2x3)=ln((x1x2x3)1/3) par les propriétés du logarithme. L’inégalité de la question a. devient donc ln(3x1+x2+x3)⩾ln(3x1x2x3), et comme ln est strictement croissante, ceci équivaut à 3x1+x2+x3⩾3x1x2x3.
Vérifier numériquement cette inégalité pour x1=2,x2=4,x3=8 : que vaut la moyenne géométrique ?
Moyenne géométrique : 32×4×8=364=4. Moyenne arithmétique : 32+4+8=314≈4,67. On a bien 4⩽314, l’inégalité est vérifiée.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.