1.Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
2.Si f′(x0)=0 et x0 est intérieur à l’intervalle de définition de f, alors f admet un extremum local en x0.
3.Toute fonction M-lipschitzienne sur un intervalle I y est continue.
4.Le théorème de Rolle s’applique à toute fonction f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, telle que f(a)=f(b) (sans autre condition sur cette valeur commune).
5.Si f est continue sur l’intervalle ouvert ]a,b[, alors f est nécessairement bornée sur ]a,b[.
On considère la fonction f:R→R définie par f(x)=⎩⎨⎧x2sinx10si x=0si x=0
Montrer que f est continue en 0.
Pour x=0, ∣f(x)∣=x2sinx1⩽x2, et x2→0 quand x→0. Par le théorème des gendarmes, f(x)→0=f(0) : f est continue en 0.
Montrer que f est dérivable en 0, et calculer f′(0).
Le taux d’accroissement en 0 vaut, pour x=0 : τ0(x)=x−0f(x)−f(0)=xx2sinx1=xsinx1 Comme xsinx1⩽∣x∣→0, le théorème des gendarmes donne τ0(x)→0. Donc f est dérivable en 0, avec f′(0)=0.
Calculer f′(x) pour x=0, puis montrer que f′ n’admet pas de limite en 0. La fonction f est-elle de classe C1 sur R ?
Pour x=0, par les règles usuelles de dérivation (produit, composée) : f′(x)=2xsinx1+x2×(−x21)cosx1=2xsinx1−cosx1 Quand x→0, 2xsinx1→0 (mêmes gendarmes qu’en b.), mais cosx1 n’admet pas de limite en 0 : elle oscille indéfiniment entre −1 et 1, par exemple le long des suites xn=2nπ1 (où cosxn1=1) et xn=(2n+1)π1 (où cosxn1=−1). Donc f′(x) n’a pas de limite en 0.
Ainsi f est dérivable sur R tout entier (en particulier en 0, par la question b.), mais f′ n’est pas continue en 0 : f n’est donc pas de classe C1 sur R. Cet exemple montre que la dérivabilité sur un intervalle n’entraîne pas la continuité de la dérivée.
Déterminer les réels a,b tels que la fonction f définie par f(x)={x2+1ax+bsi x⩽1si x>1 soit de classe C1 sur R.
Sur ]−∞,1[, f coïncide avec le polynôme x↦x2+1, de classe C∞ ; sur ]1,+∞[, f coïncide avec le polynôme x↦ax+b, également de classe C∞. Il reste à étudier la régularité au point de raccord x=1.
Continuité en 1. La valeur en 1 vaut f(1)=12+1=2. La limite à droite vaut x→1+lim(ax+b)=a+b. La continuité en 1 impose donc a+b=2.
Dérivabilité et classe C1 en 1. Sur ]−∞,1], f′(x)=2x, qui admet pour limite 2 quand x→1−. Sur ]1,+∞[, f′(x)=a, constante, de limite a. Par le théorème de la limite de la dérivée appliqué de chaque côté, f est dérivable en 1 avec f′(1)=2 si et seulement si a=2 ; dans ce cas f′ est de plus continue en 1 (ses deux limites latérales coïncident alors avec f′(1)), donc f est C1 au voisinage de 1.
Avec a=2, la condition de continuité a+b=2 donne b=0.
Ainsi f est de classe C1 sur R si et seulement si a=2 et b=0.
5 blocs de plus : les autres énoncés et tous les corrigés, rédigés en entier. Le reste du programme est écrit de la même main, avec les figures interactives et votre progression.