Relations de comparaison

Pour $x\ne 0$, $\frac{x^3}{x^2}=x\to 0$ quand $x\to 0$ : d’après la caractérisation par le quotient, $x^3=o(x^2)$ au voisinage de $0$, et la limite demandée vaut $0$.

Pour $x\ne 0$, $\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\to 0$ quand $x\to +\infty$ : donc $x^2=o(x^3)$ au voisinage de $+\infty$. Ceci illustre que la relation de négligeabilité entre deux mêmes fonctions dépend entièrement du point $x_0$ considéré : $x^3=o(x^2)$ en $0$, mais c’est l’inverse en $+\infty$.

Pour tout $x$, $-1⩽\cos x⩽1$, donc $2⩽f(x)⩽4$ : $f$ est bornée par $M=4$ (et cette borne est atteinte, en $x=0$ par exemple, donc c’est la plus petite possible). Une fonction bornée sur un voisinage de tout point est, par définition, un $O(1)$ en ce point — donc $f=O(1)$ sur $\mathbb{R}$.

Pour $x\ne 0$, $\frac{g(x)}{x^2}=1+\frac{\sin x}{x^2}$. Comme $\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|⩽\frac{1}{x^2}\to 0$, ce quotient reste borné (il tend même vers $1$) au voisinage de $+\infty$ : donc $g=O(x^2)$.