Changements de bases

Par définition, $P$ a pour colonnes les coordonnées de $e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime }$ dans $B$ : $$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$ On calcule $\det (P)=1(1-0)-0(1-0)+1(1-0)=2\ne 0$ (développement selon la première ligne), donc $P$ est inversible : ses colonnes forment une famille libre de $3$ vecteurs dans un espace de dimension $3$, donc une base. $B^{\prime }$ est bien une base de $E$.

D’après la formule de changement de coordonnées, $X=P{X}^{\prime }$ : $$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+0+3\\ 1+2+0\\ 0+2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 5\end{array}\right)$$

$x=(e_1+e_2)+2(e_2+e_3)+3(e_1+e_3)=(1+3)e_1+(1+2)e_2+(2+3)e_3=4e_1+3e_2+5e_3$, ce qui donne bien $X=(4,3,5)$ dans $B$, conformément à la question précédente.

$u(v)=(x+4y)e_1+(2x+3y)e_2$, donc $u(v)=\lambda v$ équivaut au système $x+4y=\lambda x$ et $2x+3y=\lambda y$. En reportant $y=\frac{(\lambda -1)x}{4}$ (tirée de la première équation, pour $x\ne 0$) dans la seconde : $2x+3\cdot \frac{(\lambda -1)x}{4}=\lambda \cdot \frac{(\lambda -1)x}{4}$, ce qui se simplifie (après multiplication par $4$ et division par $x\ne 0$) en $8+3(\lambda -1)=\lambda (\lambda -1)$, soit ${\lambda }^2-4\lambda -5=0$, dont les racines sont $\lambda =5$ et $\lambda =-1$.

Pour $\lambda =5$ : $y=\frac{(5-1)x}{4}=x$, d’où $v_1=e_1+e_2$. Pour $\lambda =-1$ : $y=\frac{(-1-1)x}{4}=-\frac{x}{2}$ ; en prenant $x=2$, $v_2=2e_1-e_2$.

$v_1=(1,1)$ et $v_2=(2,-1)$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc $B_1$ est libre, et de cardinal $2=\dim {\mathbb{R}}^2$ : c’est une base. Par construction, $u(v_1)=5v_1$ et $u(v_2)=-v_2$, donc : $${\mathrm{Mat}}_{B_1}(u)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

$\mathrm{tr}({\mathrm{Mat}}_{B_1}(u))=5+(-1)=4$, et $\mathrm{tr}({\mathrm{Mat}}_{B_0}(u))=1+3=4$ : les deux traces coïncident, comme il se doit puisque ces deux matrices, représentant le même endomorphisme $u$, sont semblables.