Arithmétique dans Z

Comme $d\mid a$, on peut écrire $a=dm$ pour un certain $m\in \mathbb{Z}$, d’où $ka=(kd)m$ : $kd$ divise $ka$. De même, $d\mid b$ donne $b=dn$, d’où $kb=(kd)n$ : $kd$ divise $kb$.

$kd$ est donc un diviseur commun de $ka$ et $kb$, ce qui donne déjà $kd⩽\mathrm{pgcd}(ka,kb)$.

Par le théorème de Bézout, il existe $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que $au+bv=d$. En multipliant par $k$ : $$(ka)u+(kb)v=kd$$ Notons $D=\mathrm{pgcd}(ka,kb)$. Comme $D$ divise $ka$ et $D$ divise $kb$, $D$ divise toute combinaison linéaire de $ka$ et $kb$ à coefficients entiers — en particulier $D$ divise $(ka)u+(kb)v=kd$.

D’après la question a., $kd⩽D$ (car $kd$ est un diviseur commun de $ka,kb$, donc majoré par leur plus grand commun diviseur $D$). D’après la question b., $D\mid kd$, donc $D⩽kd$ (les deux étant des entiers strictement positifs). Ainsi $kd⩽D$ et $D⩽kd$, d’où $D=kd$, c’est-à-dire $\mathrm{pgcd}(ka,kb)=k\cdot \mathrm{pgcd}(a,b)$.

Pour $n=1$, l’hypothèse est $p\mid a_1$, et la conclusion « $p$ divise l’un des $a_i$ » signifie exactement $p\mid a_1$ : c’est la même affirmation que l’hypothèse, donc immédiate.

Posons $A=a_1{a}_2\cdots a_n$, de sorte que $p\mid A\times a_{n+1}$. D’après la propriété fondamentale des nombres premiers (cas de deux facteurs, vu en cours), $p\mid A$ ou $p\mid a_{n+1}$.

Si $p\mid a_{n+1}$, la conclusion est immédiate : $p$ divise l’un des $a_1,\dots ,a_{n+1}$.

Si $p\mid A=a_1\cdots a_n$, l’hypothèse de récurrence (vraie pour $n$ facteurs) donne que $p$ divise l’un des $a_1,\dots ,a_n$, donc en particulier l’un des $a_1,\dots ,a_{n+1}$.

Dans les deux cas, $p$ divise l’un des $a_1,\dots ,a_{n+1}$ : la propriété est vraie au rang $n+1$, ce qui achève la récurrence.

Écrire $a_1\cdots a_n{a}_{n+1}=(a_1\cdots a_n)\times a_{n+1}$ et appliquer le théorème du cours (cas de deux facteurs) à ce produit de deux termes.