Applications linéaires

Pour $(x,y,z),(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\in {\mathbb{R}}^3$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ : $$u(\lambda (x,y,z)+\mu (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }))=u(\lambda x+\mu x^{\prime },\lambda y+\mu y^{\prime },\lambda z+\mu z^{\prime })$$ $$=((\lambda x+\mu x^{\prime })+(\lambda y+\mu y^{\prime }),(\lambda y+\mu y^{\prime })+(\lambda z+\mu z^{\prime }))=\lambda (x+y,y+z)+\mu (x^{\prime }+y^{\prime },y^{\prime }+z^{\prime })=\lambda u(x,y,z)+\mu u(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$$ Donc $u$ est linéaire.

$(x,y,z)\in \mathrm{Ker}u$ équivaut à $x+y=0$ et $y+z=0$, soit $x=-y$ et $z=-y$ : $\mathrm{Ker}u=\{(-y,y,-y)\mid y\in \mathbb{R}\}=\text{Vect}((-1,1,-1))$, une droite vectorielle, de dimension $1$.

D’après le théorème du rang, $\dim {\mathbb{R}}^3=\dim (\mathrm{Ker}u)+\mathrm{rg}u$, soit $3=1+\mathrm{rg}u$, donc $\mathrm{rg}u=2$. Comme $\mathrm{Im}u$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$ de dimension $2=\dim {\mathbb{R}}^2$, on a $\mathrm{Im}u={\mathbb{R}}^2$ : $u$ est surjective.

$$(p\circ p)(x,y,z)=p(x,y,0)=(x,y,0)=p(x,y,z)$$ pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ : donc $p\circ p=p$. D’après la caractérisation algébrique du cours, $p$ est bien un projecteur.

$\mathrm{Ker}p=\{(x,y,z)\mid (x,y,0)=(0,0,0)\}=\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb{R}\}=\text{Vect}((0,0,1))$ : l’axe des $z$, de dimension $1$. $\mathrm{Im}p=\{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb{R}\}$ : le plan $xy$, de dimension $2$. On vérifie $\dim {\mathbb{R}}^3=3=1+2=\dim (\mathrm{Ker}p)+\dim (\mathrm{Im}p)$, conforme à ${\mathbb{R}}^3=\mathrm{Ker}p\oplus \mathrm{Im}p$ (théorème du cours).